大学入学共通テストのプレテストの問題を解いた感想その５（数１A第２問〔１〕後半）
前回のエントリーの続きです。
各時刻における面積の大小関係と書いてあるので、まずは時刻を変数として面積を表現するという道筋はすぐに分かります。
同様にして、△BQR、△CRPの面積を表現すると、△APQと同じ式が出てきます。ということは、変数ｘに関係なく、面積は、△APQ＝△BQR＝△CRPということが言えます。つまり、解答としては、模範解答から抜粋すると、
他にも書き方はあるでしょうが、聞かれたことに忠実に答えたら問題ないと思われます。
この設問、入試変更の焦点にもなった「表現力をみるため」の記述式になっています。この設問が表現力をみるための問題かと聞かれると少し疑問が残りますが、計算させて等しくなることに気づかせたかったから記述式にせざるを得なかったのかな？と考えると仕方ないのかもしれません。
（２）ですが、基本的に解法は前問と同じで、各辺に変数振って三角形の面積に関する方程式を立てて解くだけですが、ポイントは、元の直角三角形の辺の長さが変化したため、各点P、Q、、Rの速さが変わり、AP、BQ、CRの長さが変わることと、三角比が変わることです。これらを丁寧に設定しなおして方程式が立式出来たら簡単そうですが、AP＝ｔなどとおいてしまうと計算は大変です。どれくらい大変かは自分で経験してみないと分からないので、AP=ｔとおくしか思いつかなかった人は是非、計算してみてください。
計算の結果、△APQと△BQRと△CRPの面積が等しくなるので、上記のような方程式が立ちます。あとは、このｔについての2次方程式を解の公式を用いて解くと求まります。こんな感じでゴリゴリ計算しても良いのですが、AP=１２ｘなどとおいて計算し、あとから１２ｘ＝ｔとして変換すると、少しだけ計算がシンプルになります。
どうですか？分数が減ってシンプルになったの分かりますでしょうか？このあとさらに６で割って、もっとシンプルにしてから、先ほどと同じく解の公式で計算です。ただ、こちらの場合は、最後に１２倍して、ｔの値を求める必要があるので、それを忘れないようにしないといけません。
どちらのやり方でも良さそうですが、実際に時間を計って解いてみると、後者のシンプルな方が早く解けると思うので、出来れば後者で解きたいものです。
入試に限らず何でもそうだと思いますけど、試験本番では、練習の時に使いこなした方法しか使いこなすことが出来ないので、 普段から少しでも時間短縮できる方法を見つけたり使ったりする習慣をつけておくと良いと思います。
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